NAPROSTO BEZVÝZNAMNÝ OBRÁZEK ;-)HOMEPOJMYKŘIVKYOBRÁZKY

Základní pojmy

Zde si můžete stáhnout nebo prohlédnou následující text v PDF.

Reprezentace křivek

  • Parametrická rovnice - Souřadnice bodů parametricky zadané křivky jsou vyjádřeny jako funkce proměnného parametru (například t) definovaného na určitém intervalu. Rovinnou křivku C parametricky vyjádříme C(t) = (x(t), y(t)), křivku v 3D prostoru C(t) = (x(t), y(t), z(t)). Funkce (x(t), y(t), z(t)) nazýváme souřadnými funkcemi, funkci C(t) parametrizací křivky C.

    Příklady:
    • (t,t2) ... parabola s vrcholem (minimem) v bodě [0,0] (pro t z množiny reálných čísel)
    • (cos(t),sin(t)) ... kružnice o poloměru 1 se středem v bodě [0,0] (pro t z množiny reálných čísel)
    • (t,t) ... přímka - osa 1. a 3. kvadrantu kartézské soustavy (pro t z množiny reálných čísel)

  • Neparametrická explicitní rovnice - souřadnice takto vyjádřené rovinné křivky musí splňovat rovnici y = f(x) nebo x = g(y). Takováto křivka pak bude mít parametrické vyjádření C(t) = (t, f(t)) nebo C(t) = (g(t), t). Pro křivky ve 3D vyjadřujeme dvě souřadnice pomocí třetí, například x = f(z), y = g(z).

    Příklady:
    • y = x2 ... parabola s vrcholem (minimem) v bodě [0,0]
    • y = √1-x ... kružnice o poloměru 1 se středem v bodě [0,0] (pro x od -1 do 1)
    • y = x ... přímka - osa 1. a 3. kvadrantu kartézské soustavy
    • y = 2x+2 ... přímka procházející body [0,2] a [-1,0]

  • Implicitní rovnice - souřadnice implicitně zadané rovinné křivky musí splňovat rovnici
    F(x, y) = 0. Pokud máme zadán explicitní tvar, implicitní z něj získáme pouhým převedením všech proměnných a konstant na jednu stranu rovnice. Také z parametrického vyjádření můžeme získat implicitní - eliminací parametru.

    Příklady:
    • x2+y = 0 ... parabola s vrcholem (maximem) v bodě [0,0]
    • x2+y2-1 = 0 ... kružnice o poloměru 1 se středem v bodě [0,0] (pro x od -1 do 1)
    • x+y = 0 ... přímka - osa 2. a 4. kvadrantu kartézské soustavy
    • 2x+y-2 = 0 ... přímka procházející body [0,2] a [1,0]

  • Polární rovnice - každý bod křivky je definován vzdáleností (vektorem poloměru r) od pevně daného bodu (pólu) a úhlem (případně úhly, pro více než dvojdimenzionální prostor). Tvar polární rovnice rovinné křivky je r = f(m), kde m je úhel (m probíhá množinu nezáporných reálných čísel). Polární rovnice se využívá hlavně pro vyjádření spirál nebo například kružnice a elipsy.

    Příklady:
    • r = a ... kružnice o poloměru a se středem [0,0]
    • r = aebm ... logaritmická spirála s parametry a, b

Spád a důležité přímky

Máme parametricky definovanou rovinnou křivku C(t) = (x(t),y(t)), která je na intervalu I spojitá a má spojitou derivaci (je prvkem C1).

Spád křivky C je funkce definovaná:

v(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2)

Pokud je pro všechna t z intervalu I hodnota v(t) různá od nuly, je křivka C(t) regulární.

Tečnou křivky C(t) v bodě T, který na této křivce leží, rozumíme přímku procházející bodem T, pro niž existuje okolí bodu T takové, že má na tomto okolí s křivkou C(t) společný pouze bod T a křivku neprotíná. Tečný vektor pro bod (x(t),y(t)) je C'(t) = (x'(t),y'(t)) a rovnice tečny v tomto bodě:

y'(t)(x-x(t))-x'(t)(y-y(t))=0

Normála křivky sestrojená v dotykovém bodě (x(t),y(t)) k tečně t je přímka procházející tímto bodem a kolmá t. Normálový vektor tedy je (-y'(t),x'(t)).

Asymptota je tečna křivky v jejím nevlastním bodě. Tedy přímka, ke které se křivka limitně blíží, ale nikdy s ní nebude mít společný bod.



Délka křivky

Délka křivky z bodu A=[x(t0),y(t0)] do bodu B=[(x(t),y(t)] je vzdálenost těchto bodů po křivce (je to vlastně délka úsečky AB, která leží na přímce vzniklé "narovnáním" křivky do přímky). Můžeme jí spočítat pomocí následující funkce:

s(t)=Int(t0,t)(sqrt(x'(u)^2+y'(u)^2)du)

Pro explicitně zadanou křivku spočítáme délku oblouku:

s=Int(x0,x1)(sqrt(1+y'(x)^2)dx)

kde x0 , x1 jsou x-ové souřadnice krajních bodů oblouku.


Křivost

Máme parametricky danou rovinnou křivku x = f(t), y = g(t) a chceme v každém jejím bodě najít takovou kružnici, která nejlépe vystihne průběh křivky v okolí daného bodu (T). Tato kružnice se nazývá oskulační kružnice. Její střed leží na normále křivky v bodě T a jeho vzdálenost od T je tzv. poloměr křivosti R.

Poloměr křivosti je tedy vzdálenost mezi středem oskulační kružnice a bodem T a můžeme ho spočítat následovně

rovnice polomeru krivosti

Křivost je převrácená hodnota poloměru křivosti. Udává velikost zakřivení křivky v bodě. Kružnice má konstantní křivost rovnou převrácené hodnotě jejího poloměru.

Evoluta je množina všech středů křivosti bodů dané křivky. Dá se také popsat jako obálka normál této křivky. Parametrická rovnice evoluty (křivky (f(t), g(t))) je:

rovnice evoluty

kde R je poloměr křivosti.
Původní křivka je vůči svojí evolutě nazývaná evolventou.

© 2005-2006 KATEŘINA SAMKOVÁ, vedoucí projektu RNDr. SVĚTLANA TOMICZKOVÁ
Všechny připomínky, poznatky a nalezené chyby (ale i pochvaly :-)) uvítám na ksamkova@students.zcu.cz.