předchozí další

Pappovy úlohy

Pappos Alexandrijský (3. stol. n. l.) se zabýval Apolloniovými úlohami v díle "Mathématikai synagogai", což je významné historické dílo obsahující výňatky ze starých ztracených matematických spisů a poznámky o dřívějších matematicích. Při hledání řešení obecné Apolloniovy úlohy vznikly tzv. úlohy Pappovy, které jsou jejími speciálními případy.

Pappova úloha má následující znění:
"Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body), z nichž alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod leží na dané kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové křivky v daném bodě a dále se dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem.".

Uvědomíme-li si, že jedním ze zadaných prvků je vždy bod a druhým přímka nebo kružnice, můžeme lehce určit počet možných variant úloh. Podle kombinatorického pravidla součinu dostaneme rovnici ( 1 1 )( 2 1 )( 3 1 )=123=6 . Obecná úloha se tedy dělí na 6 podúloh. Jednoduchou konstrukcí můžeme počet variant snížit na polovinu. Máme-li v zadání bod ležící na kružnici, sestrojíme v tomto bodě tečnu a úlohu převedeme na hledání kružnice, která se dotýká přímky v tečném bodě.

Pro ozančení Pappovy úlohy se používá dolního indexu B vždy u křivky, na které bod leží. Např. symbol BkB znamená, že je daná kružnice k a dva body, z nichž právě jeden leží na kružnici k.