předchozí další

Apolloniovy úlohy

Apolloniova úloha má své jméno podle řeckého geometra Apollonia z Pergy (262 – 200 př. n. l.), který se touto úlohou zabýval a řešil ji v díle "O dotycích". Jedná se o dvousvazkovou práci, která se bohužel nedochovala. Nemůžeme tudíž s určitostí říci, jakým způsobem Apollonios úlohu řešil. Podle francouzského matematika Vièta podal Apollonios obecné řešení dilatací (poměr přírůstku délky úsečky k původní délce úsečky), to Vièt uvedl ve svém díle „Apollonius Gallus..." z roku 1600 n. l..

Apollonios formuloval úlohu nejprve pro tři zadané kružnice, později byly tyto kružnice postupně nahrazeny bodem (kružnice o nulovém poloměru) a přímkou (kružnice o nekonečně velkém poloměru). Originální znění se nezachovalo. Je však známa reprodukce úlohy v díle "Mathématikai synagogai" (důležitý pramen historie matematiky obsahující výňatky ze ztracených matematických spisů) řeckého matematika Pappose Alexandrijského (3. stol. n. l.). Paposs uvádí úlohu v následujícím znění:
"Nechť jsou dány tři předměty, z nichž každý může být bodem, přímkou nebo kruhem; má se narýsovat kruh, který prochází každým z daných bodů (jsou-li dány jen body) a dotýká se daných přímek či kruhů.".

Z výše uvedeného zadání je možno vypozorovat počet možných variant úlohy. Hledáme vždy skupiny tří objektů ze třech druhů (Bodů, přímek, kružnic), přičemž pořadí daných objektů není podstatné. Tvoříme kombinace s opakováním třetí třídy z podmínek K ( k,n )= K ( 3,3 )=( n+k1 k )=( 3+31 3 )=( 5 3 )=10 . Je tedy 10 různých případů (nových devět jsou zvláštní případy úlohy obecné), přičemž obecná úloha má nejvýše 8 řešení.

Apolloniova úloha se těšila velkému zájmu v celé své historii. Zabývali se jí význační matematici jako například již zmiňovaný Vièt, dále také Fermat, Newton, Euler a další. Již Eukleides se ve své 4. knize Základů věnuje vyšetřování dvou typů Apolloniových úloh. Kniha pojednává o kružnicích opsaných a vepsaných trojúhelníku, tj. nalezení kružnice procházející třemi body nebo dotýkající se třech přímek.

Webovská učebnice se zabývá řešením Apolloniovy úlohy pouze eukleidovskými prostředky. I Paposs ve svém díle uvádí požadavek Apollonia – řešení Apolloniovy úlohy pomocí kružítka a pravítka, přičemž již Apollonios znal stejnolehlost i kruhovou inverzi. Jsou známé také jiné metody, např. užitím kuželoseček, cyklografie, deskriptivní geometrií, geometrií projektivní (kolineací) apod., avšak těmito metodami se zabývat nebudeme. Učebnice využívá k řešení úloh metody množin všech bodů dané vlastnosti a konstrukci metodou geometrických zobrazení (konkrétně kruhové inverze a stejnolehlosti).